Potenciación

La potenciación es una operación aritmética que multiplica un número por sí mismo tantas veces como lo indique su exponente.

Partes

Una potenciación tiene 2 partes: una base, y un exponente. El exponente nos dice cuántas veces se multiplicará por sí misma la base. Por ejemplo, en la operación $2^{3}$, el 2 es la base, y el 3 es el exponente.

Potencias con exponentes enteros

Una potenciación se hace de la siguiente manera:

$3^{4}=\mathbf {81}$

En este ejemplo: tenemos una base de 3, y un exponente 4. En este caso, se dice que «3 está elevado a 4». Como el exponente es 4, multiplicamos 4 veces el 3. Y el resultado es 81:

$3\times 3\times 3\times 3=\mathbf {81}$

No se debe confundir la potenciación con una multiplicación. $2^{3}$ no es lo mismo que $2\times 3$: la primera operación da 8, mientras que la multiplicación da 6.

Potencias con exponentes decimales

Normalmente, el exponente es un número entero, pero a veces, puede encontrarse que el exponente es un número decimal, o una fracción. En estos casos, hay qué realizar algunos pasos más para saber el resultado. Por ejemplo, para resolver la operación $256^{0.75}$, se realizarán los siguients pasos:

1. Convertir el exponente a una fracción

Si la potencia es un número decimal, se ha de convertir el número a una fracción:

$256^{0.75}=256^{\frac {75}{100}}=\mathbf {256^{\frac {3}{4}}}$

En este caso, se ha convertido primero a una fracción decimal (${\frac {75}{100}}$), y luego, se ha simplificado a ${\frac {3}{4}}$, para trabajar con números más pequeños.

2. Convertir la fracción a una multiplicación

Sacamos el numerador de la fracción, para convertirla en una fracción unitaria. El numerador que sacamos lo usamos para multiplicar a la fracción:

$256^{\frac {3}{4}}=\mathbf {256^{{\frac {1}{4}}\times 3}}$

Si la fracción ya es unitaria, es decir, ya tenía como numerador 1, salta al paso 4.

3. Convertir la multiplicación a una potencia

Como multiplicar un exponente es igual a calcular la potencia de una potencia, convertimos la multiplicación anterior en una potencia:

$256^{{\frac {1}{4}}\times 3}=\mathbf {\left({256^{\frac {1}{4}}}\right)^{3}}$

4. Convierte la potencia fraccionaria a una raíz

Para quitar la fracción, debemos convertirla a una raíz. El grado de la raíz será el denominador de la fracción:

$\left({256^{\frac {1}{4}}}\right)^{3}=\mathbf {\left({\sqrt[{4}]{256}}\right)^{3}}$

5. Resolver la raíz

Se debe resolver la raíz. Una forma de hacerlo es intentar averiguar si hay un número que multiplicado tantas veces como el grado de la raíz, dé el radicando:

$\left({\sqrt[{4}]{256}}\right)^{3}=\left({\sqrt[{4}]{4\times 4\times 4\times 4}}\right)^{3}}=\mathbf {\left(4\right)^{3}$

En nuestro ejemplo, como $4^{4}=256$, tenemos que la raíz es 4.

6. Resolver el exponente restante

Por último, hay qué resolver la potencia que falta:

$(4)^{3}=4\times 4\times 4=\mathbf {64}$

Entonces $256^{0.75}=64$

Propiedades

Potencias de 2 y 3

Cuando una potenciación tiene de exponente el número 2, se dice que está «al cuadrado». Por ejemplo, la siguiente potenciación se lee «5 al cuadrado»:

$5^{2}=\mathbf {25}$

Del mismo modo, cuando una potenciación tiene de exponente el número 3, se dice que está «al cuadrado». Por ejemplo, la siguiente potenciación se lee «4 al cubo»:

$4^{3}=\mathbf {64}$

Multiplicación de potencias de igual base

Si estás multiplicando dos potenciaciones que tienen la misma base, simplemente suma los exponentes. Por ejemplo:

$8^{3}\times 8^{2}=8^{3+2}=\mathbf {8^{5}}$

Potencia de una potencia

Si quieres potenciar el resultado de una potencia, simplemente multiplica los dos exponentes. Por ejemplo:

$(2^{3})^{4}=2^{3\times 4}=\mathbf {2^{12}}$

Potencia de una multiplicación

Si quieres potenciar una multiplicación, puedes simplificar la operación potenciando cada factor de la multiplicación por separado. Por ejemplo:

$(8\times 4\times 20)^{2}=\mathbf {8^{2}\times 4^{2}\times 20^{2}}$

División de potencias de igual base

Si estás dividiendo dos potenciaciones que tienen la misma base, simplemente resta los exponentes, pues recuerda que en la multiplicación, se suman. Por ejemplo:

${\frac {8^{5}}{8^{3}}}=8^{5-3}=\mathbf {8^{2}}$

Potencia de exponente 1 y 0

El número uno, como exponente, siempre dará como resultado el número del inicio. Por ejemplo:

${\begin{array}{c}7^{1}=\mathbf {7} \\10^{1}=\mathbf {10} \end{array}}$

Por otro lado, el número cero, como exponente, siempre dará como resultado 1. Por ejemplo:

${\begin{array}{c}7^{0}=\mathbf {1} \\10^{0}=\mathbf {1} \end{array}}$

Potencia de 1

El número uno, como número a potenciar, siempre dará de resultado 1, no importando qué tan grande sea el exponente. Por ejemplo:

${\begin{array}{c}1^{3}=\mathbf {1} \\1^{7}=\mathbf {1} \\1^{25}=\mathbf {1} \end{array}}$

Potencia de una división

Si quieres potenciar una división, puedes simplificar la operación potenciando el divisor y el dividendo de la división por separado. Por ejemplo:

$\left({\frac {4}{2}}\right)^{3}=\mathbf {\frac {4^{3}}{2^{3}}}$

Potencia de base 10

Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

${\begin{array}{lcl}10^{-6}&=&0,000001\\10^{-5}&=&0,00001\\10^{-4}&=&0,0001\\10^{-3}&=&0,001\\10^{-2}&=&0,01\\10^{-1}&=&0,1\end{array}}$

${\begin{array}{lcr}10^{0}&=&1\\10^{1}&=&10\\10^{2}&=&100\\10^{3}&=&1.000\\10^{4}&=&10.000\\10^{5}&=&100.000\\10^{6}&=&1.000.000\end{array}}$

Las potencias de base 10 se utilizan con frecuencia para expresar números grandes (con muchas cifras) o pequeños (con muchos decimales). Por ejemplo, el número decimal 0,00000123 puede expresarse como $123\cdot 10^{-8}$. Esa forma de escribir los números se conoce como notación científica.