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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son un tipo de ecuaciones que tienen dos ecuaciones y dos incógnitas, y se pueden resolver por varios métodos:
- Método gráfico
- Sustitución
- Eliminación
- Igualación
Al tener el rango de la matriz de coeficientes igual que el rango de la matriz de coeficientes ampliada, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado, y por tanto, existe una única solución para cada incógnita.
Métodos[editar · editar código]
Método de suma y resta[editar · editar código]
El método de suma y resta, o de eliminación, consiste en realizar cambios elementales; sumar una ecuación por otra pudiendo multiplicar una ecuación por un número.
Al multiplicar una ecuación por un número, todos los coeficientes, incluido el término independiente, pasan a tener el nuevo valor.
Por ejemplo, resolveremos este sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
Observa que la variable y aparece en ambas ecuaciones con signo opuesto, y que además está acompañada por el mismo número en ambas ecuaciones: en ambas está acompañada por un 1.
Debido a esto, si sumamos ambas ecuaciones, el término y desaparecerá.
Obtuvimos la ecuación 10x = 10, que podemos despejar fácilmente:
Así que x = 1. Ahora, podemos reemplazar ese valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos inicialmente, y despejar y:
Tenemos la solución al sistema de ecuaciones:
Método de sustitución[editar · editar código]
El método de sustitución consiste en dejar una variable aislada en una ecuación para para sustituirla en la otra ecuación.
Por ejemplo, resolveremos este sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la y de la primera ecuación:
Reemplazamos el valor de y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:
Despejamos la variable que nos queda:
Ya obtuvimos el valor de x. Sabemos que y = 22−3x, así que, sustituimos x = 5:
La solución al sistema de ecuaciones es x = 5, y = 7.