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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

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Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son un tipo de ecuaciones que tienen dos ecuaciones y dos incógnitas, y se pueden resolver por varios métodos:

  1. Método gráfico
  2. Sustitución
  3. Eliminación
  4. Igualación

Al tener el rango de la matriz de coeficientes igual que el rango de la matriz de coeficientes ampliada, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado, y por tanto, existe una única solución para cada incógnita.

Métodos[editar · editar código]

Método de suma y resta[editar · editar código]

El método de suma y resta, o de eliminación, consiste en realizar cambios elementales; sumar una ecuación por otra pudiendo multiplicar una ecuación por un número.

Al multiplicar una ecuación por un número, todos los coeficientes, incluido el término independiente, pasan a tener el nuevo valor.

Por ejemplo, resolveremos este sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

Observa que la variable y aparece en ambas ecuaciones con signo opuesto, y que además está acompañada por el mismo número en ambas ecuaciones: en ambas está acompañada por un 1.

Debido a esto, si sumamos ambas ecuaciones, el término y desaparecerá.

Obtuvimos la ecuación 10x = 10, que podemos despejar fácilmente:

Así que x = 1. Ahora, podemos reemplazar ese valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos inicialmente, y despejar y:

Tenemos la solución al sistema de ecuaciones:

Método de sustitución[editar · editar código]

El método de sustitución consiste en dejar una variable aislada en una ecuación para para sustituirla en la otra ecuación.

Por ejemplo, resolveremos este sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la y de la primera ecuación:

Reemplazamos el valor de y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:

Despejamos la variable que nos queda:

Ya obtuvimos el valor de x. Sabemos que y = 22−3x, así que, sustituimos x = 5:

La solución al sistema de ecuaciones es x = 5, y = 7.

Referencias[editar · editar código]