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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

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Los sistemas de ecuaciones lineales de 2 X 2 (llamados comúnmente como sistemas de ecuaciones de 2x2 o sistemas de 2 x 2) se pueden resolver por varios métodos:

  • Método gráfico
  • Sustitución
  • Eliminación
  • Igualación

Método de eliminación[editar | editar código]

A continuación encontrarás algunos ejemplos resueltos paso a paso de cómo resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de eliminación.

Ejemplo[editar | editar código]

Resolveremos este sistema de ecuaciones por el método de eliminación:

[math]4x+y=9[/math]

[math]6x-y=1[/math]

Observa que la variable Y aparece en ambas ecuaciones con signo opuesto, y que además está acompañada por el mismo número en ambas ecuaciones: en ambas está acompañada por un 1. Debido a esto, si sumamos ambas ecuaciones, el término Y desaparecerá. Mira:

[math]\begin{alignat}{2} 4x + y = 9 \\\underline{+ \quad 6x - y = 1} \\ 10x = 10\end{alignat}[/math]

Obtuvimos la ecuación 10X = 10, que podemos despejar fácilmente:

[math]\begin{alignat}{2} 10x = 10 \\x = \frac{10}{10}\\ x = 1\end{alignat}[/math]

Así que X = 1. Ahora, podemos reemplazar ese valor de X en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos inicialmente, y despejar Y:

[math]\begin{alignat}{2} 4x + y = 9 \\4*1 + y = 9\\ 4 + y = 9 \\ y = 9 - 4 \\ y = 5\end{alignat} [/math]

Y listo. Tenemos la solución al sistema de ecuaciones:

[math]\begin{alignat}{2} x = 1 \\y = 5\end{alignat}[/math]

Ejemplo 2[editar | editar código]

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación:

[math]\begin{alignat}{2} y + 2x = 8\\3x + 4y = 17\end{alignat}[/math]

PASO 1

Ordenamos ambas ecuaciones, de modo que X y Y aparezcan en el mismo orden en ambas.

[math]\begin{alignat}{2} 2x+y=8 \\3x + 4y = 17\end{alignat}[/math]

PASO 2

Debemos decidir cuál variable vamos a eliminar. En este caso, eliminaremos la Y. Para eliminarla, necesitamos que esté en ambas ecuaciones acompañada por el mismo coeficiente, pero con signos opuestos (es decir, necesitamos que en una ecuación aparezca con signo positivo y en la otra con signo negativo)

PASO 3

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que acompañe a Y en la otra ecuación.

En este caso, observa que en la primera ecuación la Y está acompañada por un 1, mientras que en la segunda está acompañada por un 4, así que deberíamos multiplicar la primera ecuación por el 4 y la segunda ecuación por el 1. Sin embargo, necesitamos que una de las dos Y sea negativa, así que vamos a multiplicar la segunda ecuación por -1.

[math]\begin{alignat}{2} (2x + y = 8) \cdot 4 \qquad \rightarrow \qquad 8x + 4y = 32 \\(3x + 4y = 17) \cdot -1 \quad \rightarrow \ -3x - 4y = -17\end{alignat}[/math]

PASO 4

Sumamos ambas ecuaciones.

[math]\begin{alignat}{2} 8x+4y=32 \\\underline{+ \quad -3x-4y=-17} \\ 5x=15\end{alignat}[/math]

PASO 5

Despejamos la variable que queda.

[math]\begin{alignat}{2} 5x = 15 \\x=\frac{15}{5}=3\end{alignat}[/math]

PASO 6

Ya tenemos una variable despejada. Ahora la reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos inicialmente, y despejamos la otra variable

[math]\begin{alignat}{2} y+2x=8 \\y+2\cdot 3 =8 \\y+6=8\\y=8-6\\y=2\end{alignat}[/math]

Y ya está resuelto el sistema de ecuaciones:

[math]\begin{alignat}{2} x = 3 \\y = 2\end{alignat}[/math]

Método de sustitución[editar | editar código]

Resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante el método de sustitución.

Ejemplo 1[editar | editar código]

3X + Y = 22
4X - 3Y = -1
PASO 1

Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la Y de la primera ecuación:

3X + Y = 22
Y = 22 - 3X
PASO 2

Reemplazamos el valor de Y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:

4X - 3Y = -1
4X - 3(22-3X) = -1
4X - 66 + 9X = -1
13X - 66 = -1
PASO 3

Despejamos la variable que nos queda (en este caso, X):

13X - 66 = -1
13X = -1 + 66
13X = 65
  X = 65/13
  X = 5
PASO 4

Ya obtuvimos el valor de X. Sabemos que Y = 22 - 3X (fue el primer despeje que hicimos, ¿recuerdas?), así que

Y = 22 - 3X
Y = 22 - 3*5
Y = 22 - 15
Y = 7

Y listo. Tenemos entonces la solución al sistema de ecuaciones:

X = 5
Y = 7