Trigonometría

La trigonometría (del griego trigonon = tres ángulos y metro = medida) es un área de las matemáticas elementales que trata de ángulos, triángulos y funciones trigonométricas.

Se estudian funciones trigonométricas como seno (abreviado: sen), coseno (abreviado: cos) y tangente (abreviado tan).

En 2023, dos adolescentes estadounidenses dieron una demostración del teorema de Pitágoras usando trigonometría.

Panorama general y definiciones

Un triángulo recto estándar. C es el ángulo recto

La trigonometría utiliza un gran número de palabras específicas para describir partes de un triángulo.

Algunas de las definiciones más importantes en trigonometría son:

1. Triángulo rectángulo: Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo que es igual a 90 grados. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto. Las relaciones trigonométricas estándar sólo pueden utilizarse en triángulos rectangulares.
2. Hipotenusa: La hipotenusa de un triángulo es el lado más largo y el lado opuesto al ángulo recto. Por ejemplo, para el triángulo de la derecha, la hipotenusa es el lado c.
3. Lado opuesto de un ángulo: El lado opuesto de un ángulo es el lado que no se cruza con el vértice del ángulo. Por ejemplo, el lado a es el opuesto del ángulo A en el triángulo de la derecha.
4. Lado adyacente de un ángulo: El lado adyacente de un ángulo es el lado que cruza el vértice del ángulo pero no es la hipotenusa. Por ejemplo, el lado b es adyacente al ángulo A en el triángulo de la derecha.

Relaciones trigonométricas

Hay tres relaciones trigonométricas principales en los triángulos rectángulos, y tres recíprocos de esas relaciones. Hay 6 relaciones totales. Estas son:

1. Seno: El seno de un ángulo es igual a ${{\text{Lado opuesto}} \over {\text{Hipotenusa}}}$
2. Coseno: El coseno de un ángulo es igual a ${{\text{Lado adyacente}} \over {\text{Hipotenusa}}}$
3. Tangente: La tangente de un ángulo es igual a ${{\text{Lado opuesto}} \over {\text{Lado adyacente}}}$

Las recíprocas de estas proporciones son:

1. Secante: La secante de un ángulo es igual a ${{\text{Hipotenusa}} \over {\text{Lado adyacente}}}$ o $\sec \theta ={1 \over \cos \theta }$
2. Cosecante: La cosecante de un ángulo es igual a ${{\text{Hipotenusa}} \over {\text{Lado opuesto}}}$ o $\csc \theta ={1 \over \operatorname {sen} \theta }$
3. Cotangente: La cotangente de un ángulo es igual a ${{\text{Lado adyacente}} \over {\text{Lado opuesto}}}$ o $\cot \theta ={1 \over \tan \theta }$

Uso

Con los senos y cosenos se pueden calcular los ángulos y lados restantes de cualquier triángulo tan pronto como se conozcan dos lados y su ángulo incluido, o dos ángulos y un lado, o tres lados.

Estas leyes son útiles en todas las ramas de la geometría, ya que cada polígono puede ser descrito como una combinación de triángulos.

Leyes

Estas 3 leyes son ampliamente utilizadas en la trigonometría:

Ley de los senos

${{\text{a}} \over {\text{Sen A}}}={{\text{b}} \over {\text{Sen B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sen C}}}$

Ley de los cosenos

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

Ley de las tangentes

$a-b/a+b=tan((1/2)(A-B))/tan((1/2)(A+B))$