Criterio de Stolz

El criterio de Stolz es un método para resolver determinados límites donde aparecen sucesiones aritméticas.

Criterio de Stolz del cociente

Sean $\{a_{n}\}\$y $\{b_{n}\}\$dos sucesiones tales que:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$, $\{b_{n}\}\$es monótona decreciente y $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$

o bien

• $\{b_{n}\}\$es monótona creciente y divergente a $+\infty \$.
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lambda ,~\lambda \in \mathbb {R}$

Entonces, el límite:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda$

Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo ${\frac {\infty }{\infty }}$.Otra forma de enunciación es la siguiente:

Sean $(a_{n})_{n\geq 1}$y $(b_{n})_{n\geq 1}$dos sucesiones de números reales. Asumiendo que $(b_{n})$ sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.$

Entonces podemos asegurar que el límite

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$

existe y es igual a $l$siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.

Forma general

La forma general del teorema de Stolz–Cesàro es la siguiente:

Si $(a_{n})_{n\geq 1}$ y $(b_{n})_{n\geq 1}$ son dos sucesiones tales que $(b_{n})_{n\geq 1}$ es monótona y no acotada, entonces:

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.$

Ejemplo

El criterio de Stolz del cociente permite demostrar la convergencia a $1/3$ de la sucesión dada por

$x_{n}={\frac {1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}}{n^{3}}}$

Para ello, se considera la sucesión del numerador, $a_{n}=1^{2}+2^{2}+\cdots n^{2}$, y la del denominador, $b_{n}=n^{3}$ (es monótona creciente y divergente a $+\infty$). Por aplicación del criterio,

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}={\frac {1}{3}}$