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a crear los Matemáticas condensadas
Las matemáticas condensadas son una teoría desarrollada por Dustin Clausen y Peter Scholze que tiene como objetivo unificar varias áreas de las matemáticas, incluida la topología, la teoría de números, la geometría compleja y la geometría algebraica.
Idea[editar · editar código]
La idea fundamental en el desarrollo de la teoría viene dada por la sustitución de espacios topológicos por conjuntos condensados, definidos a continuación. La categoría de conjuntos condensados, así como categorías relacionadas como la de grupos abelianos condensados, se comportan mucho mejor que la categoría de espacios topológicos. En particular, a diferencia de la categoría de grupos abelianos topológicos, la categoría de grupos abelianos condensados es una categoría abeliana, lo que permite el uso de herramientas del álgebra homológica en el estudio de dichas estructuras.
El marco de las matemáticas condensadas resulta ser lo suficientemente general como para considerar varios "espacios" con haces valorados en álgebras condensadas, uno puede incorporar tanto la geometría algebraica, la geometría analítica p-ádica y la geometría analítica compleja.
Historia[editar · editar código]
En 2013, Bhargav Bhatt y Peter Scholze introdujeron una noción general de sitio pro-étale asociada a un esquema arbitrario. En 2018, junto con Dustin Clausen, llegaron a la conclusión de que ya el sitio pro-étale de un solo punto, que es isomorfo al sitio de conjuntos profinitos presentado anteriormente, tiene una estructura lo suficientemente rica como para realizar grandes clases de espacios topológicos como poleas en él. Otros desarrollos han llevado a una teoría de conjuntos condensados y grupos abelianos sólidos, a través de los cuales uno puede incorporar geometría no arquimediana en la teoría.
En 2020, Scholze completó una prueba de un resultado que permitiría incorporar el análisis funcional y la geometría compleja en el marco de las matemáticas condensadas, utilizando la noción de espacios vectoriales líquidos. El argumento ha resultado ser bastante sutil, y para despejar cualquier duda sobre la validez del resultado, pidió a otros matemáticos que proporcionaran una prueba formalizada y verificada. Durante un período de 6 meses, un grupo dirigido por Johan Commelin verificó la parte central de la prueba utilizando el asistente de prueba Lean. Al 14 de julio de 2022, se completó la prueba.
Coincidentemente, en 2019 Barwick y Haine introdujeron una teoría muy similar de los objetos picnóticos.
Esta teoría está muy relacionada con la de los conjuntos condensados, y las principales diferencias son de naturaleza teórica de conjuntos: la teoría picnótica depende de una elección de universos de Grothendieck, mientras que las matemáticas condensadas se pueden desarrollar estrictamente dentro de ZFC.