Problema de la iluminación

Habitaciones propuestas por Tokarsky y Castro para responder al problema de la iluminación

El problema de la iluminación es un problema matemático que busca responder a si una sala puede ser totalmente iluminada usando el menor número de focos de luz puntuales que se reflejan infinitamente con el mismo ángulo de reflexión.

Lo de mínimo es un problema que se puede aplicar a cámaras de seguridad o extintores que desean optimizarse para, en caso de robo o incendio, baste con los que hay dispuestos.

Historia

A principios de la década de 1950, Ernst Straus preguntó

1. ¿Cada región es iluminable desde todos los puntos de la región?
2. ¿Cada región es iluminable desde al menos un punto de la región?

Aquí, iluminable significa que hay un camino de un punto a otro por reflejos repetidos.

En 1958, Roger Penrose usó las propiedades de la elipse para describir una habitación con paredes curvas que siempre tendría regiones oscuras (no iluminadas), independientemente de la posición de la vela. La habitación de Penrose, ilustrada arriba, consta de dos medias elipses en la parte superior e inferior y dos protuberancias en forma de hongo (que a su vez están formadas por segmentos de línea recta y medias elipses más pequeñas) en los lados izquierdo y derecho. Las elipses y los champiñones están colocados estratégicamente como se muestra, siendo los puntos rojos los focos de las medias elipses. Hay esencialmente tres posibles configuraciones de iluminación. En esta figura, las regiones iluminadas se indican en blanco, las regiones no iluminadas se indican en gris y la posición de la fuente de luz se indica mediante una cruz negra. Como se puede ver, toda la habitación (el espacio dentro del borde azul) nunca se puede iluminar por completo.

Tokarsky (1995) mostró que existen cuartos poligonales no iluminables en el plano y en tres dimensiones, pero la pregunta (2) permanece abierta en el caso de los cuartos poligonales.

Tokarsky (1995; figura de la derecha) construyó un contraejemplo poligonal de 26 lados para (1) en el plano, que posteriormente se mejoró a una habitación de 24 lados (Castro 1997; figura de la derecha). Cabe señalar que la sala Tokarsky es un caso límite, porque en realidad un número finito de puntos oscuros permanecen sin iluminar cuando se coloca una fuente de luz puntual en una posición determinada. Entonces, para una fuente de luz extendida, esta habitación en realidad es iluminable.

Los problemas de iluminación están íntimamente relacionados con el billar. El reflejo de la luz en la superficie de un espejo es exactamente análogo al reflejo de una bola de billar en el cojín de una mesa de billar porque la ley de la reflexión, que establece que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, se aplica por igual en ambos casos.

En la cultura popular

En el episodio de apertura de la temporada 4 "Trust Metric" (2007) del drama criminal televisivo NUMB3RS, el genio de las matemáticas Charlie Eppes usa el problema de iluminación y la habitación de 26 lados de Tokarsky como motivación para encontrar al fugitivo Carter.

El canal de YouTube Numberphile hizo un vídeo con el profesor Howard Masur de la Universidad de Chicago hablando del problema de la iluminación.

El estudiante Nicolás Atanes dio una charla en el Young Photonics Congress 2022 del Instituto de Ciencias Fotónicas, en Castelldefels, sobre el problema de la iluminación.

PBS Infinite Series hizo un vídeo al respecto.