Determinante (matemáticas)

El determinante de una matriz es un número que se le asigna a las clases de matrices que son iguales porque una puede ser convertida a otra con mismo determinante por cambios elementales.

Toda matriz tiene un determinante.

Es especialmente importante cuando es cero, ya que significa que al menos 2 de las filas o columnas son linealmente dependientes, especialmente para calcular el rango.

Si los elementos de la matriz están en un cuerpo, el determinante también estará en ese mismo cuerpo.

El determinante de la matriz $A$ se escribe $\det(A)$ o $|A|$. A veces, se escribe $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ y $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$, o también $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ y $\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|$.

Si la matriz es diagonal, el producto de los elementos de la diagonal es el determinante.

Ese número puede depender de los elementos que tenga la matriz. Si consideramos la base canónica 2x2: la matriz identidad 2x2, tiene determinante 1. Pero si multiplicamos los vectores por un factor 2 al primero, y 5 al segundo, tenemos $\left|{\begin{matrix}2&0\\0&5\end{matrix}}\right|$ y entonces el determinante es 10. Por eso, es fundamental entender porqué tiene determinante 1. Es definición.

Propiedades

$\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|=\lambda ,\left|{\begin{matrix}2a&2b\\3c&3d\end{matrix}}\right|=6\lambda$

Fórmulas

• Para matrices 2x2 la fórmula es:

$\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

• Para matrices 3x3 la fórmula es:
  

  Regla de Sarrus
  ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$ Es la fórmula de Sarrus.