Espacios perfectoides

Los espacios perfectoides son una clase de objetos algebraico geométricos que viven en el ámbito de la geometría p-ádica que fueron presentados por Peter Scholze.

Introducidos por Peter Scholze en 2011, los espacios perfectoides son un puente entre la geometría en la característica 0 y la característica p, y se han utilizado para resolver muchos problemas importantes, incluidos los casos de la conjetura de la monodromía del peso y la asociación de las representaciones de Galois con las clases de torsión en cohomología.

Los espacios perfectoides también se pueden definir como la subcategoría completa de espacios ádicos que tienen una cubierta afinoide de espacios ádicos asociados a álgebras perfectoides.

Estos espacios tienen buenas propiedades geométricas y es posible globalizar la inclinación functor de talk 3 a una equivalencia entre categorías de espacios perfectoides.

Ejemplo

Dada una hipersuperficie $H\subset P_{K}^{n}$, se puede construir un espacio perfectoide $U_{\epsilon }$que, esencialmente, es la vecindad tubular de radio alrededor del imagen inversa de $H$ bajo $P_{K{\text{, perf}}}^{n}\rightarrow P_{K}^{n}$, siguiendo la notación del Ejemplo 5.

Usando $U_{\epsilon }$ y el Teorema 2:

Las categorías de K-espacios perfectoides y espacios $K^{\flat }$-perfectoides se identifican canónicamente; esta identificación conserva la topología étale.

Scholze demostró la Deligne’s weight-monodromy conjecture para H suave reduciéndola a la afirmación análoga para una hipersuperficie suave H' sobre el campo $K^{\flat }$ de característica p (como esto último fue demostrado por Deligne en el camino a las conjeturas de Weil).

La teoría de los espacios perfectoides fue inventada por Peter Scholze para comparar objetos geométricos sobre campos locales de característica mixta con objetos geométricos sobre campos locales de igual característica. Recientemente se descubrió que muchos objetos naturales pueden interpretarse como espacios perfectoides, por ejemplo, variedades de Shimura con estructura de nivel infinito en p.

Workshop on "Perfectoid spaces"

Del 9 al 20 de septiembre de 2019, se celebró en Madhava Lecture Hall, ICTS, Bangalore el Workshop on "Perfectoid spaces".

Motivación

Scholze ideó otra propiedad algebraica de de anillos topológicos, y un anillo con esta propiedad se llama anillo perfectoide.

Los anillos perfectoides son muy raramente noetherianos: el extra algebraico que Scholze agregó el axioma involucrado asumiendo la existencia de raíces p-ésimas de esencialmente todos los elementos del anillo, donde p es un número primo, que normalmente obliga a estos anillos a ser no noetherianos. Sin embargo, Scholze logró aislar un tipo diferente de propiedad útil que controlaba cómo se comportaban estos anillos, llamada "inclinación", e inicialmente usó esta propiedad para probar nuevos casos de la conjetura monodromía-peso en geometría algebraica, al reducir una pregunta en la característica 0 a una pregunta en la característica p donde ya había sido resuelta.

Lo que fue sorprendente en ese momento (al menos para mí) fue que esta noción en realidad tenía usos mucho más allá de su intención original. Una observación crucial, atribuida a Scholze y Weinstein, fue que estos límites de espacios localmente simétricos que aparecen en la filosofía de Langlands (por ejemplo, el límite de la torre de curvas modulares

· · · → X(pⁿ) → · · · → X(p²) → X(p) → X(1))

podrían ser dotados de la estructura de un espacio perfectoide. La cohomología de este espacio perfectoide fue un ingrediente crucial y nuevo en el área relativamente nueva de la filosofía p-ádica de Langlands, y rápidamente se estaban obteniendo nuevos resultados, no solo sobre la filosofía p-ádica de Langlands, sino también sobre la filosofía clásica de Langlands.

Estas aplicaciones fueron una de las principales razones por las cuales Scholze fue galardonado con la Medalla Fields en 2018.