Identidad de Euler

Identidad de Euler

La identidad de Euler es una ecuación bella descrita por Leonhard Euler que contiene algunos elementos importantes de la matemática:

1. El número 1, la unidad multiplicativa, todo número multiplicado por 1 queda igual, y el primer número positivo;
2. El número 0, la unidad aditiva, todo número más 0 queda igual, y el primer número natural;
3. El número π, fundamental en las matemáticas, número irracional;
4. El número i, la raíz cuadrada de -1, base de los números complejos;
5. La potenciación, una operación fundamental de las matemáticas;
6. La igualdad, una relación binaria que establece relaciones entre objetos iguales;

Opiniones

El profesor de matemáticas Keith Devlin de la Universidad de Stanford ha dicho: "Como un soneto de Shakespeare que capta la esencia misma del amor, o una pintura que pone de manifiesto la belleza de la forma humana que es mucho más que la piel, la ecuación de Euler llega hasta lo más profundo de la existencia".

Paul Nahin, profesor emérito de la Universidad de New Hampshire, que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier, describe la identidad de Euler como "de una belleza exquisita".

La escritora de matemáticas Constance Reid opinaba que la identidad de Euler es "la fórmula más famosa de todas las matemáticas".

Benjamin Peirce, un filósofo, matemático y profesor de la Universidad de Harvard estadounidense del siglo XIX, tras demostrar la identidad de Euler durante una conferencia, afirmó que la identidad "es absolutamente paradójica; no podemos entenderla, y no sabemos lo que significa, pero la hemos demostrado, y por lo tanto sabemos que debe ser la verdad".

Una encuesta entre los lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 nombró la identidad de Euler como el teorema más bello de las matemáticas.

En otra encuesta entre los lectores realizada por Physics World en 2004, la identidad de Euler empató con las ecuaciones de Maxwell (del electromagnetismo) como la "mayor ecuación de la historia".

Explicación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad se deduce a partir de un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

$e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x\,\!$

para cualquier número real x, con los argumentos de las funciones trigonométricas sen y cos expresados en radianes. En particular si

$x=\pi \,\!$

entonces

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\operatorname {sen} \pi \,\!$

y ya que

$\cos \pi =-1\,\!$

y que

$\operatorname {sen} \pi =0\,\!$

se sigue que

$e^{i\pi }=-1+0\,\!$

Lo cual implica la identidad

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

$x=i\pi ,\,\!$

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...,\,\!$

para obtener:

$e^{i\pi }=1+i\pi +{\frac {(i\pi )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\pi )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\pi )^{4}}{4!}}+...,\,\!$

simplificando (usando $i^{2}=-1$):

$e^{i\pi }=1+i\pi -{\frac {\pi ^{2}}{2!}}-{\frac {i\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+...,\,\!$

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

$i(\pi -{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}-{\frac {\pi ^{7}}{7!}}+...)=0\quad ;\quad (1-{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}-{\frac {\pi ^{6}}{6!}}+...)=-1\!$

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

$e^{i\pi }=-1\,\!$

Significado

El sucesor de e elevado a la unidad imaginaria, i, multiplicado por el número pi, es 0.