Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es un razonamiento matemático verdadero que valida la verdad de una conclusión a partir de premisas verdaderas.

Por ejemplo, la regla de inferencia modus ponendo ponens toma dos premisas, uno en la forma "Si p, entonces q" y otra en la forma "p", y devuelve la conclusión "q". La regla es válida con respecto a la semántica de la lógica clásica (así como la semántica de muchas otras lógicas no clásicas), en el sentido de que si las premisas son verdaderas (bajo una interpretación), entonces también lo será la conclusión.

Por lo general, una regla de inferencia conserva la verdad, una propiedad semántica. En muchos valores lógicos, esta conserva una designación general. Pero la acción de la regla de inferencia es puramente sintáctica, y no es necesario preservar ninguna propiedad semántica: cualquier función de conjuntos de fórmulas cuenta como una regla de inferencia.

Entonces, aunque la aplicación de una regla de inferencia es un procedimiento puramente sintáctico, debe preservar la validez. Para que el requisito de preservación de la validez tenga sentido, es necesaria una cierta forma semántica para las aserciones de las reglas de inferencia y las reglas de inferencia en sí mismas.

Las reglas significativas de inferencia en la lógica proposicional incluyen modus ponens, modus tollens y contraposición. La lógica de predicados de primer orden usa reglas de inferencia para liderar con cuantificadores lógicos.

Algunos ejemplos son teorema, corolario, lema, entre otros.

La forma estándar de reglas de inferencia

En lógica formal (y muchas áreas relacionadas), las reglas de inferencia suelen darse generalmente en la forma estándar. El lenguaje formal exacto utilizado para describir tanto premisas como las conclusiones depende del contexto real de las derivaciones. En un caso sencillo, se puede utilizar fórmulas lógicas, tales como en:

${\begin{array}{cl}&A\to B\\&A\\\hline \therefore &B\\\end{array}}$

Esta es la regla modus ponendo ponens de la lógica proposicional. Por lo general, las reglas de inferencia se formulan como esquemas empleando meta variables. En la regla (esquema), las meta variables A y B pueden crear instancias de cualquier elemento del universo (o, a veces, por convención, un subconjunto restringido como proposiciones) para formar un conjunto infinito de reglas de inferencia.

Un sistema de prueba está formado por un conjunto de reglas encadenadas entre sí para formar pruebas, también llamadas derivaciones. Cualquier derivación tiene una sola conclusión final, que es la declaración probada o derivada. Si las premisas quedan insatisfechas en la derivación, en consecuencia, la derivación es una prueba de una declaración hipotética: "si las premisas se mantienen, entonces la conclusión es válida."

Admisibilidad y derivabilidad

En un conjunto de reglas, una regla de inferencia podría ser redundante en el sentido de que es admisible o derivable. Un regla derivable es aquella cuya conclusión se puede derivar de sus premisas utilizando las demás reglas. Una regla admisible es aquella cuya conclusión mantiene siempre las premisas poseídas. Toda regla derivable es admisible. Para apreciar la diferencia, considerar el siguiente conjunto de reglas para definir los números naturales (sentencia $n\,\,{\mathsf {nat}}$ afirma el hecho de que n es un número natural):

${\begin{matrix}{\frac {}{\mathbf {0} \,\,{\mathsf {nat}}}}&{\frac {n\,\,{\mathsf {nat}}}{\mathbf {s(} n\mathbf {)} \,\,{\mathsf {nat}}}}\\\end{matrix}}$

La primera regla establece que 0 es un número natural, y el segundo afirman que s(n) es un número natural si n lo es. En este sistema de prueba, la siguiente regla, lo que demuestra que el segundo sucesor de un número natural es también un número natural, es derivable:

${\frac {\mathbf {s(} n\mathbf {)} \,\,{\mathsf {nat}}}{n\,\,{\mathsf {nat}}}}$

Este es un hecho cierto de los números naturales, tal como puede ser probado por inducción. (Para probar que esta regla es admisible, asumir una derivación de la premisa e inducir en ella para producir una derivación de $n\,\,{\mathsf {nat}}$.) Sin embargo, no es derivable, porque depende de la estructura de la derivación de la premisa. Debido a esto, la derivabilidad es estable bajo las adiciones al sistema de prueba, mientras que la admisibilidad no lo es. Para ver la diferencia, supongamos que se añadiera la regla siguiente tonta al sistema de la prueba:

${\frac {}{\mathbf {s(-3)} \,\,{\mathsf {nat}}}}$

En este nuevo sistema, la regla de doble sucesor sigue siendo derivable. Sin embargo, la regla para encontrar el predecesor ya no es admisible, porque no hay manera de derivar $\mathbf {-3} \,\,{\mathsf {nat}}$. La fragilidad de la admisibilidad proviene de la forma en que se prueba: ya que la prueba puede inducir en la estructura de las derivaciones de las premisas, las extensiones al sistema añaden nuevos casos de esta prueba, que ya no puede ser sostenida.

Las reglas admisibles pueden ser pensados como teoremas de un sistema de prueba. Por ejemplo, en un cálculo secuencial donde se mantiene el corte de eliminación, es admisible la regla de corte.

Reglas recursivas

Por lo general, solo son importantes las reglas que sean recursivas; es decir, reglas para que no haya un procedimiento efectivo para determinar si cualquier fórmula dada es la conclusión de un determinado conjunto de fórmulas de acuerdo a la regla.

Un ejemplo de una regla que no es efectiva en este sentido es la infinitista regla ω.