 |
¡Vikidia te necesita!
 Actualmente tenemos 6665 artículos. ¡Anímate! |
a crear los Teorema de Feit-Thompson
El teorema de Feit-Thompson establece que todo grupo finito de orden impar es soluble.
Fue demostrado por Walter Feit y John Griggs Thompson.
Historia[editar · editar código]
William Burnside (1911, p. 503 nota M)[1] conjeturó que todo grupo simple finito no abeliano tiene un orden par. Richard Brauer (1957)[2] sugirió usar los centralizadores de involuciones de grupos simples como base para la clasificación de grupos simples finitos, ya que el teorema de Brauer-Fowler muestra que solo hay un número finito de grupos simples finitos con centralizador dado de una involución.
Un grupo de orden impar no tiene involuciones, por lo que para llevar a cabo el programa de Brauer primero es necesario demostrar que los grupos simples finitos no cíclicos nunca tienen orden impar. Esto es equivalente a mostrar que los grupos de orden impar son grupos solubles, que es lo que demostraron Feit y Thompson.
El ataque a la conjetura de Burnside fue iniciado por Michio Suzuki (1957),[3] quien estudió los grupos CA; estos son grupos tales que el Centralizador de cada elemento no trivial es Abeliano. En un artículo pionero demostró que todos los grupos CA de orden impar son solucionables. (Más tarde clasificó todos los grupos CA simples, y más en general todos los grupos simples tales que el centralizador de cualquier involución tiene un subgrupo 2-Sylow normal, encontrando una familia pasada por alto de grupos simples de tipo Lie en el proceso, que ahora se llaman grupos de Suzuki.)
Feit, Thompson y Marshall Hall (1960)[4] extendieron el trabajo de Suzuki a la familia de grupos CN; estos son grupos tales que el Centralizador de cada elemento no trivial es Nilpotente. Demostraron que cada grupo CN de orden impar es solucionable. Su prueba es similar a la prueba de Suzuki. Tenía unas 17 páginas, lo que en ese momento se pensó que era muy largo para una prueba en teoría de grupos.
Se puede pensar en el teorema de Feit-Thompson como el siguiente paso en este proceso: muestran que no existe un grupo simple no cíclico de orden impar tal que cada subgrupo propio sea soluble . Esto prueba que todo grupo finito de orden impar es solucionable, ya que un contraejemplo mínimo debe ser un grupo simple tal que todo subgrupo propio sea solucionable. Aunque la prueba sigue el mismo esquema general que el teorema CA y el teorema CN, los detalles son mucho más complicados. El documento final tiene 255 páginas.
Importancia de la demostración[editar · editar código]
El teorema de Feit-Thompson mostró que la clasificación de grupos simples finitos utilizando centralizadores de involuciones podría ser posible, ya que todo grupo simple no abeliano tiene una involución. Muchas de las técnicas que introdujeron en su prueba, especialmente la idea de análisis local , se desarrollaron más en las herramientas utilizadas en la clasificación. Quizás el aspecto más revolucionario de la prueba fue su extensión: antes del artículo de Feit-Thompson, pocos argumentos en la teoría de grupos tenían más de unas pocas páginas y la mayoría se podía leer en un día. Una vez que los teóricos de grupos se dieron cuenta de que argumentos tan largos podían funcionar, comenzó a aparecer una serie de artículos de varios cientos de páginas. Algunos de estos eclipsaron incluso al artículo de Feit-Thompson; el artículo de Michael Aschbacher y Stephen D. Smith sobre groups quasithin tenía 1.221 páginas.
Revisión de la demostración[editar · editar código]
Muchos matemáticos han simplificado partes de la demostración original de Feit-Thompson. Sin embargo, todas estas mejoras son, en cierto sentido, locales; la estructura global del argumento sigue siendo la misma, pero algunos de los detalles de los argumentos se han simplificado.
La prueba simplificada ha sido publicada en dos libros: (Bender & Glauberman 1994),[5] que cubre todo excepto la teoría de carácteres, y (Peterfalvi 2000, parte I),[6] que cubre la teoría del carácter. Esta prueba revisada sigue siendo muy difícil y es más larga que la prueba original, pero está escrita en un estilo más pausado.
En septiembre de 2012, Georges Gonthier y otros investigadores de Microsoft Research e INRIA anunciaron una prueba completamente formal, verificada con el asistente de demostraciones Coq.
Uso de la paridad[editar · editar código]
El hecho de que el orden del grupo G sea impar se usa en varios lugares de la demostración, como sigue (Thompson 1963).[7]
- El teorema de Hall-Higman es más definido para grupos de orden impar.
- Para grupos de orden impar, todos los caracteres no principales aparecen en pares conjugados complejos.
- Varios resultados sobre p-grupos solo se cumplen para primos impares p.
- Si un grupo de orden impar no tiene subgrupos abelianos elementales de rango 3, entonces su grupo derivado es nilpotente. (Esto falla para el grupo simétrico S4 de orden par.)
- Varios argumentos que involucran la teoría del carácter fallan para números primos pequeños, especialmente para el número primo 2.
Referencias[editar · editar código]
- ↑ Burnside, William (1911), Theory of groups of finite order, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49575-0, MR 0069818
- ↑ Brauer, R. (1957), "On the structure of groups of finite order", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1, Erven P. Noordhoff N.V., Groningen, pp. 209–217, MR 0095203, archived from the original on 2011-03-05, retrieved 2010-11-14
- ↑ Suzuki, Michio (1957), "The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order", Proceedings of the American Mathematical Society, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 8, No. 4, 8 (4): 686–695, doi:10.2307/2033280, JSTOR 2033280, MR 0086818
- ↑ Feit, Walter; Thompson, John G.; Hall, Marshall Jr. (1960), "Finite groups in which the centralizer of any non-identity element is nilpotent", Math. Z., 74: 1–17, doi:10.1007/BF01180468, MR 0114856, S2CID 120550114
- ↑ Bender, Helmut; Glauberman, George (1994), Local analysis for the odd order theorem, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 188, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45716-3, MR 1311244
- ↑ Peterfalvi, Thomas (2000), Character theory for the odd order theorem, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 272, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511565861, ISBN 978-0-521-64660-4, MR 1747393
- ↑ Thompson, John G. (1963), "Two results about finite groups", Proc. International Congress Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 296–300, MR 0175972.