Intersección de dos espacios vectoriales

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Intersección de planos en ${\mathbb{ℝ}}^3$

La intersección de dos espacios vectoriales es el espacio vectorial que tiene todos los vectores que están en ambos espacios vectoriales a la vez.

Cálculo

Es importante hallar la base que genera la intersección de dos espacios vectoriales.

Si tenemos el espacio vectorial V formado por los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0) y el espacio vectorial U formado por los vectores (0, 2, 0) y (0, 0, 1), la intersección son los vectores que están en U y V.

Con vectores de U es imposible obtener el vector (1, 0, 0) por lo que no está en la intersección.

A fuerza bruta, podemos realizar a×(1, 0, 0) + b×(0, 1, 0) = c×(0, 2, 0) + d×(0, 0, 1), y veremos que la única solución es que a = 0, d = 0, b = 2c, c = c. Por tanto, (0, 2, 0) está en la intersección.

No está bien definido el resultado porque lo mismo podemos decir (0, 2, 0) que c = 5 (por tanto b = 10) y (0, 10, 0) o cualquier otro vector estaría en la intersección.

(0, 1, 0) y (0, 2, 0) son linealmente dependientes, por lo que basta con 1 vector para representar el espacio vectorial U∩V intersección de ambos espacios vectoriales.