The Sand Reckoner

El contador de arena es una obra de Arquímedes en la que el autor intenta establecer un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el universo. Para hacer esto tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo vigente en ese momento y, además, inventar una manera de expresar números muy grandes. Es considerada la primera obra de divulgación de las matemáticas de la historia.

Este trabajo de Arquímedes se conoce también en latín como Archimedis Syracusani arenarius et Dimensio Circuli, cuya traducción tiene unas 8 páginas. En la obra se dirige al rey de Siracusa Gelón II (hijo del rey Hierón II).

Probablemente esta es la obra más accesible de Arquímedes y una de las primeras publicaciones científicas de la historia.

Nombrando números grandes

El primer paso de Arquímedes fue inventar un sistema para nombrar números grandes. El sistema de numeración en uso en aquel tiempo podía expresar números hasta 10.000 (una miríada, en griego antiguo μυριάς), y mediante el uso de la combinación "miríada de miríadas" el alcance se podía extender hasta 10⁸. Arquímedes llamó a los números menores de 10⁸ los "números de primer orden"; y al 10⁸ lo llamó la "unidad de los números de segundo orden". Los múltiplos de esta unidad se convirtieron en los "números de segundo orden", que llegaban de nuevo hasta la miríada de miríadas, igual a 10⁸·10⁸= 10¹⁶, que pasaba a ser la "unidad de los números de tercer orden", cuyos múltiplos son los números de tercer orden, y así sucesivamente. Arquímedes siguió nombrado de esta manera a los números hasta .

Al llegar aquí, Arquímedes llamó a los números así definidos los "números del primer período", y llamó al último, , la "unidad del segundo período". De esta manera, Arquímedes construyó los "números del segundo período" tomando múltiplos de esta unidad, de forma análoga a la forma en que construyó los "números del primer período". Continuando así, con el tiempo llegó a los "números del período número una miríada de miríadas". El mayor número nombrado por Arquímedes fue el último número de este período.

Otra forma de escribir este número es un uno (1) seguido de ochenta mil billones de ceros (80·10¹⁵). El sistema de Arquímedes recuerda un sistema de numeración posicional con base 10⁸, lo que es notable, ya que los antiguos griegos usaron un sistema muy sencillo para escribir los números, que emplea las 27 letras de su alfabeto para las unidades del 1 al 9, las decenas del 10 al 90, y las centenas del 100 al 900.

Arquímedes también descubrió y demostró la ley de los exponentes, necesaria para operar con potencias de 10, según la cual 10^a · 10^b = 10^a+b.