Cambio elemental (matrices)

Un cambio elemental a una matriz es cualquiera de los 3 siguientes cambios que se le pueden hacer una matriz en filas o columnas para conservar algunas de sus propiedades.

La n-ésima columna, donde n es el número de columna; 1,2,3... o n-ésima fila, donde n es el número de fila; 1,2,3... se representan por Cn o Fn respectivamente.

1. Multiplicar una fila o columna por un número, por ejemplo k. k*Fn, k*Cn
2. Sumar una fila o columna a otra fila o columna. (Pero no una fila a una columna, o una columna a una fila). Por ejemplo, F3 = F3 + F2
3. Sumar una fila o columna a otra fila o columna por un número, por ejemplo k. Por ejemplo, C2 = C2 + 3*C1.

Cuando se pone C4 = C4 + 5C1 quiere decir que la columna 4 cambiará, y ahora será lo que era sumado a 5 veces lo que es la columna 5.

En este caso, si la columna 4 es (1, 2, 3, 4) y la columna 1 es (1, 1, 1, 1), la columna 4 ahora será (1, 2, 3, 4) + 5*(1, 1, 1, 1) = (1, 2, 3, 4) + (5, 5, 5, 5) = (6, 7, 8, 9).

Cambios elementales por filas o columnas

Si solo hacemos cambios elementales por filas se dice que estamos haciendo cambios elementales por filas.

Si solo hacemos cambios elementales por columnas se dice que estamos haciendo cambios elementales por columnas.

Forma escalonada y forma escalonada reducida

Haciendo cambios elementales (solo por filas o columnas) de una matriz se puede llegar a su forma escalonada de una matriz o formada escalonada reducida de una matriz.

Los pivotes son los primeros elementos diferentes de cero en cada fila.

Una matriz A está en forma escalonada por filas si cumple estas condiciones:

1. Todas las filas que consisten únicamente en ceros se encuentran en la parte inferior.
2. El pivote de una fila no nula siempre está estrictamente a la derecha del pivote de la fila anterior.

Una matriz A está en forma escalonada reducida por filas si cumple condiciones:

1. Está en forma escalonada.
2. Los pivotes son iguales a 1.
3. Cada columna que contiene un pivote tiene ceros en todas sus otras entradas.

Conservaciones tras cambios elementales

Se conserva el determinante.

Se conserva la traza.

Sigue siendo una base del espacio vectorial formado por los vectores en la columna siempre que se hagan cambios elementales por columnas.

Se conserva el rango.