Demostración

Un ejemplo de una demostración en matemáticas

Una demostración en matemáticas es un argumento que utiliza afirmaciones previamente establecidas para validar un enunciado matemático.

Al demostrarse un enunciado, ya sea un teorema o un corolario, se puede utilizar para deducir que lo que dice es cierto, y posteriormente utilizarlo para futuras demostraciones.

Una demostración suele usar un marco teórico conocido y previamente demostrado. A veces no es fácil encontrar la manera de demostrar un enunciado, y por eso, a veces, algunos bromean con la frase La demostración se deja como ejercicio al lector.

La demostración formal de un teorema consiste en una sucesión de transformaciones de proposiciones que se consideren válidas, y que terminan en la conclusión.

Si una o más de las proposiciones no es válida, entonces el argumento se llama falacia.

Para que una proposición sea válida debe derivarse de proposiciones anteriores por medio de proposiciones anteriores por medio de ciertas reglas de inferencia.

Métodos

Las matemáticas cuentan con algunos métodos conocidos y ampliamente utilizados para demostrar enunciados matemáticos.

Reducción al absurdo

Reducción al absurdo es uno de los métodos de demostración más usados en matemáticas para demostrar la validez (o invalidez) de enunciados matemáticos.

Se parte por suponer como hipotética la veracidad o falsedad de la tesis de la proposición a demostrar. El objetivo es usando argumentos válidos llegar a una contradicción lógica, un absurdo.

De llegar a una contradicción, se concluye que la hipótesis de partida -que se había supuesto verdadera al principio- ha de ser falsa, o viceversa.

Ejemplo

La demostración de Euclides de que existen infinitos números primos se incluye en la Proposición 20 del libro IX de Elementos y se basa en reducción al absurdo.

Partiendo de suponer que lo cierto es lo contrario, que existe un número finito de números primos, n, tenemos que los números primos que serían p₁, p₂, …, p_n.

Entonces se toma el número m como el producto de todos los números primos más 1: m = (p₁·p₂···p_n) + 1.

Tenemos que m es el producto de todos los números primos más 1, y m no es un número primo, pues no se encuentra en P, entonces es un número compuesto y debe ser divisible por algún número primo.

Si hacemos la división entre cualquier número primo de la lista P, por ejemplo p₁ nos sale (p₂···p_n) + 1/p₁, y p₁ es distinto de 1, por lo que nos queda resto 1, por lo que debería ser número primo.

Por lo cual debe existir al menos otro número primo que no se encuentra en esa lista.

Entonces llegamos a una contradicción, no hay un número finito de números primos, por lo cual existen infinitos números primos.

Inducción matemática

La inducción matemática es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable, que toma una infinidad de valores enteros.

Se utiliza para demostrar que una propiedad se cumple para todo valor de la variable de conjuntos bien ordenados, es decir, todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo o primero.

Se basa en probar que la proposición se cumple para el primer elemento, se cumple para el segundo… y suponiendo que se cumple para n se cumple para n+1.

La variable n es un valor cualquiera mayor que el primer elemento.

Ejemplo

$1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

P (n) da una fórmula para la suma de los números naturales menores o igual a n. La prueba de que P (n) es verdadera para todos los números naturales procede como sigue.

Base: Se muestra que es válida para n = 1.

con P(1) se tiene:

$1={\frac {1\cdot (1+1)}{2}}\,.$

En el lado izquierdo de la ecuación, el único término es 1, entonces su valor es 1.

mientras que el término derecho, 1·(1 + 1)/2 = 1.

Ambos lados son iguales, n = 1. Entonces P(1) es verdadera.

Paso inductivo: Mostrar que si P(k) es verdadera, entonces es verdadera. Como sigue:

Se asume que P(k) es verdadera (para un valor no específico de k). Se debe entonces mostrar que es verdadera:

$(1+2+\cdots +k)+(k+1)={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.$

usando la hipótesis de inducción P(k) es verdadera, el término izquierdo se puede reescribir:

${\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\,.$

Desarrollando:

${\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {k^{2}+k+2k+2}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\end{aligned}}$

mostrando de hecho que es verdadera.

Directa

La demostración directa se basa en en la forma natural que poseemos para analizar una situación que por sus características.

Ejemplo

5!/2 es número par.

Supongamos que 5!/2 es el orden del grupo A₅.

Se sabe que A₅ es un grupo no abeliano simple.

Entonces A₅ no es grupo soluble.

Pero el teorema de Feit-Thompson afirma que todo grupo finito con cardinal impar es grupo soluble.

Entonces 5!/2 debe ser un número par.

Visual

La demostración visual

Idea feliz

Artículo principal: Idea feliz

Tipos

Implicación, doble implicación

Belleza matemática

Algunos matemáticos han expresado las demostraciones como parte de la belleza matemática.

El libro de 2004 de Burkard Polster titulado Q.E.D.: Beauty in Mathematical Proof habla justamente de eso.

El libro Proofs from the BOOK escrito por Martin Aigner y Günter M. Ziegler. El libro está dedicado al matemático húngaro Paul Erdős, quien a menudo se refería a "El Libro" en el que Dios guarda la demostración más elegante de cada teorema.